Методы некоммутативного анализа - Некоммутативный анализ, т.е. исчисление некоммутирующих операторов, является одним из основных средств современной математики. До настоящего времени не существовало достаточно простого изложения некоммутативного анализа, которое, с одной стороны, могло бы служить введением в предмет и было бы понятно неспециалистам, а с другой, содержало бы достаточное количество простых примеров из математики и физики и давало бы в руки исследователей новый мощный и, что очень важно, унифицированный аппарат исследования. Предлагаемая книга заполняет этот пробел и может служить хорошим учебным пособием по овладению этим новым и мощным средством математики.
Название: Методы некоммутативного анализа Автор: Назайкинский В. Е., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Издательство: Техносфера Год: 2002 Страниц: 336 Формат: PDF Размер: 21,9 МБ ISBN: 5-94836-002-4 Качество: Отличное Серия или Выпуск: Мир математики Язык: Русский
Содержание:
Предисловие I. Элементарные понятия некоммутативного анализа 1. Примеры, в которых возникают функции некоммутиру-ющих операторов 1.1. Неавтономные линейные дифференциальные уравнения первого порядка. T-экспонента 1.2. Квантовая механика. Операторы рождения и уничтожения 1.3. Дифференциальные и интегральные операторы 1.4. Задачи теории возмущений 1.5. Закон умножения в группах Ли 1.6. Задача о собственных значениях квантового осциллятора 1.7. T-экспоненты, формулы Троттера и континуальные интегралы 2. Функции некомму тирующих операторов: конструкция и основные свойства 2.1. Мотивировки 2.2. Определение и теорема единственности 2.3. Основные свойства 2.4. Медленно растущие символы и производящие операторы групп степенного роста 2.5. Влияние классов символов на свойства генераторов 2.6. Квантование Вейля 3. Некоммутативное дифференциальное исчисление 3.1. Формула дифференцирования 3.2. Теорема Далецкого-Крейна 3.3. Разложения более высоких порядков 3.4. Перестановка фейнмановских номеров 3.5. Формула сложной функции 4. Теорема Кемпбелла-Хаусдорфа и формула Дынкина 4.1. Постановка задачи 4.2. Операция коммутирования 4.3. Замкнутая формула для ln(еBеА) 4.4. Замкнутая формула для логарифма T-экспоненты 5. Резюме: правила «операторной арифметики» и некоторые стандартные приемы 5.1. Обозначения 5.2. Правила 5.3. Стандартная техника II. Метод упорядоченного представления 1. Определение и основное свойство упорядоченного представления 1.1. Виковская нормальная форма 1.2. Упорядоченное представление и теорема о композиции 1.3. Редукция к нормальной форме 2. Вычисление упорядоченного представления 2.1. Функции операторов x и -і∂/∂x 2.2. Возмущенные гейзенберговские соотношения 2.3. Нелинейные коммутационные соотношения 2.4. Лиевские коммутационные соотношения 2.5. Градуированные алгебры Ли 3. Условие Якоби и теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта 3.1. Упорядоченное представление и условие Якоби 3.2. Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта 3.3. Примеры проверки условия Якоби 4. Условие Якоби и уравнения Янга-Бакстера 5. Представления групп Ли и функции их инфинитези-мальных образующих 5.1. Условия на представление 5.2. Гильбертовы шкалы 5.3. Пространства символов 5.4. Классы символов и асимптотические задачи III. Некоммутативный анализ и дифференциальные уравнения 1. Основные идеи 1.1. Метод Хевисайда для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 1.2. Нестандартные характеристики и асимптотические разложения 1.3. Асимптотические разложения. Гладкость в сравнении с параметром 1.4. Асимптотические разложения относительно упорядоченного набора операторов 1.5. Редукция к псевдодифференциальным уравнениям 1.6. Коммутация псевдодифференциального оператора с экспонентой 1.7. Резюме: общая схема 2. Разностные и дифференциально-разностные уравнения 2.1. Разностные аппроксимации как псевдодифференциальные уравнения 2.2. Разностные аппроксимации как функции от x и δ±x 2.3. Еще один подход к разностным аппроксимациям 3. Распространение электромагнитных волн в плазме 3.1. Постановка задачи 3.2. Построение асимптотического разложения 3.3. Анализ асимптотического решения 4. Уравнения геострофического ветра Приложение А. Представления алгебр и групп Ли 1. Алгебры Ли и их представления 1.1. Алгебры Ли, базисы, структурные константы, подалгебры 1.2. Примеры алгебр Ли 1.3. Гомоморфизмы, идеалы, фактор-алгебры 1.4. Представления 1.5. Присоединенное представление. Центр алгебры Ли 1.6. Теорема Адо 1.7. Нильпотентные алгебры Ли 2. Группы Ли и их представления 2.1. Группы Ли, подгруппы, теорема Глисона-Монтго-мери-Циппина 2.2. Примеры групп Ли 2.3. Локальные группы Ли 2.4. Гомоморфизмы групп Ли, нормальные подгруппы, фактор-группы 2.5. Левые и правые сдвиги. Мера Хаара 2.6. Левые и правые регулярные представления 2.7. Представления групп Ли 3. Связь между группами и алгебрами Ли 3.1. Алгебра Ли группы Ли 3.2. Примеры 3.3. Экспоненциальное отображение, однопараметрические подгруппы, координаты I и II рода 3.4. Вычисление коммутатора с помощью экспоненциального отображения 3.5. Производные гомоморфизмы 3.6. Производное представление 3.7. Группа Ли, соответствующая алгебре Ли 3.8. Теорема Крейна-Шихватова Приложение В. Псевдодифференциальные операторы 1. Элементарное введение 2. Пространства символов и генераторы 3. Функции операторов x и δ±x Глоссарий Библиографические замечания Библиография Предметный указатель
